ÉLÉMENTS D'HISTOIRE SÉMIOTIQUE DE L'HOMOLOGIE

(Résumé de thèse [1997] et chapitre II)

SOMMAIRE :
Introduction
I. Histoire sémiotique de l'homologie 13

L'histoire conceptuelle et la permanence des concepts 13
Etablir des différences 16 
L'Analysis Situs et l'homologie 18 
Le corpus 21 

II. L'analyse sémiotique des textes 24

A. Les textes comme systèmes de signes 24

A.1. Signes et système sémiotique 24

Définition de l'expression 24
Définition du contenu 25
Définition de la fonction sémiotique et du signe 26
Le système sémiotique d'un texte 27
L'intérêt de connaître les fonctions sémiotiques 28
Le contenu et ses limites 28

A.2. Les plans de l'expression et du contenu 29

Le plan de l'expression 29
Les plans de contenu 30
La poly-isotopie des textes 32
L'invariance des plans de contenu 33
Comparaison du plan de l'expression et des plans du contenu d'un texte 33
Comparaison des plans et comparaison des textes 34

A.3. Comparaison avec la théorie du langage de Hjelmslev 34

La théorie du langage de Hjelmslev et la parole 35
Parole et langue, procès et système, texte et système sémiotique 38
Les signes ayant un contenu algébrique 40
Forme et substance 43
Sur les textes poly-isotopiques 46

B. Le conditionnement sémiotique 48

III Remarque sur les citations 52

Les Mémoires de Poincaré

Introduction 53
Le contenu géométrique du signe variété 62
Le signe variété 62
Le signe variété et le plan de contenu géométrique 83
Le signe frontière 90
Le contenu géométrique de frontière 90
La Frontière comme relation sur le plan de l'expression 99
L'addition des variétés et le plan de contenu algébrique 101
Le contenu géométrique de l'addition 102
Les combinaisons linéaires de variétés 106
Les combinaisons linéaires de contours et leur contenu géométrique 106
L'extension aux combinaisons linéaires et le plan de l'expression 110
Le contenu algébrique du signe variété 118
Le contenu arithmétique des polyèdres et des variétés 127
Les contenus du signe homologie 139
Le contenu géométrique des homologies 139
Les contenus arithmétique et algébrique des homologies 150
Les fonctions sémiotiques des signes variété et homologie et le statut des trois plans de contenu 164
Conclusion 187 

Veblen 1922

Introduction 195
Le contenu géométrique du signe complex 196
Le contenu arithmétique du signe complex 212
Le signe homology 216
Homologie des complexes orientés 220
Les plans de contenu et les fonctions sémiotiques 223
Les plans de contenu et le statut des définitions 223
Le plan de contenu géométrique 227
Les fonctions sémiotiques 235
Conclusion 242

Alexander 1926

Introduction 247
Les signes ayant un contenu géométrique : cell, complex 250
Les signes ayant un contenu algébrique : elementary chain, chain 259
L'articulation des plans de contenu géométrique et algébrique 266
La notion d'interprétation 266
Le signe vertex 279
Conclusion 287

Lefschetz 1930

Introduction 289
Les signes cell et complex 296
Le signe cell 296
Le signe complex 303
Les signes chain et singular chain 313
La définition de "chain" 313
Le contenu géométrique de chain 314
Le contenu algébrique de chain 317
"From the cells to the chains is but a step" 322
L'extension des cellules aux chaînes dans les définitions 322
L'extension des cellules aux chaînes dans les démonstrations 326
La définition de "singular chain" 330
Le contenu géométrique de singular chain 332
Le contenu algébrique de singular chain. Des chaînes simpliciales aux chaînes singulières. 334
Les homologies 341
La coexistence des plans de contenu géométrique et algébrique 346
Comparaison avec Alexander 1926 346
Comparaison avec les Mémoires de Poincaré 349
Comparaison avec Veblen 1922 351
Les fonctions sémiotiques 352
Le conditionnement sémiotique 355
Le statut de la théorie des ensembles 357
Conclusion 362

Conclusion 367

Appendice 1

Exemple d'isomorphie entre deux plans de contenu entretenue sur un texte entier : Une lettre des Liaisons dangereuses de Laclos 375

Appendice 2

Quelques définitions des Mémoires de Poincaré 377

Bibliographie

Histoire des mathématiques 393

Sémiotique 398

Mathématiques 401

Divers 417
Index 419

RÉSUMÉ : Cette thèse est consacrée à l'histoire de la topologie algébrique et plus particulièrement à l'histoire du calcul homologique. Elle présente l'analyse de quatre "textes" : les trois premiers Mémoires de Poincaré consacrés à l'Analysis situs, publiés entre 1895 et 1900, le livre de Veblen, Analysis Situs, publié en 1922, un article d'Alexander, "Combinatorial Analysis Situs", publié en 1926, et le livre de Lefschetz, Topology, publié en 1930. Les analyses sont menées de manière à permettre la comparaison des traitements du calcul homologique dans ces textes. L'accent est mis sur leurs différences et des conséquences historiques et épistémologiques sont tirées de celles-ci. Pour cela, deux types d'analyses sémiotiques sont développées.
Le premier consiste en l'analyse du système sémiotique des textes. Les notions de "signe" et de "système" adoptées sont reprises, avec d'importantes adaptations, de celles introduites par le linguiste Louis Hjelmslev. Les plans de contenu géométrique, arithmétique, ensembliste et algébrique sont définis, leurs manifestations sont relevées, leurs relations mutuelles sont décrites et il est montré que celles-ci diffèrent selon les textes. Il est ainsi possible d'apprécier dans les énoncés, et notamment dans les démonstrations, la part de chacun de ces contenus et les passages des uns aux autres. Plus généralement, la permanence du plan de contenu géométrique et l'absence du plan de contenu ensembliste dans ces textes sont établies. Une attention particulière est aussi accordée aux combinaisons linéaires ; l'importance de l'expression écrite dans ces textes est ainsi mise en évidence.
Le second type d'analyse concerne le conditionnement sémiotique des textes. Il s'agit de prendre en considération les énoncés de ces textes dont la fonction est la production d'un signe ou qui comportent un commentaire explicite sur la nature d'un signe. Cette analyse permet de considérer des différences sémiotiques explicitement reconnues par les auteurs. Elle permet en particulier d'apprécier leur souci d'assurer à certaines expressions une signification géométrique. Elle donne un autre accès à la complexité sémiotique de ces textes mathématiques.
La confrontation des résultats de ces deux types d'analyses permet notamment de relativiser l'influence du développement de l'axiomatique et de la théorie des ensembles sur le développement de l'homologie durant la période considérée.

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